Решение задач с помощью пропорций

Часто на практике приходится решать задачи, которые наиболее целесообразно делать с помощью пропорций. Если в условиях имеются две связанные величины, то для решения такую задачу удобно приводить к равенству дробей. Дробь еще называют отношением. Например, дробь , или 2:3 – это отношение двух к трем. Если два отношения равны друг другу, говорят о пропорции. Например,  . Если вычислить значения выражений слева и справа от знака «=», можно убедиться, что они равны между собой. Это означает, что они являются пропорцией.

Равенство    словесно выражается так: «Десять относится к пяти, как 30 относится к пятнадцати», или «Десять больше пяти во столько же раз, во сколько тридцать больше пятнадцати». Очевидно, что в пропорции фигурируют 4 числовых значения – 4 члена. Если любой из них неизвестен, его можно вычислить по трем другим членам.

Пример 1

Чтобы вычислить x, достаточно умножить обе части на 20:

Сократив, получим:

3*4=x

x=12

Подставим найденное значение вместо x и проверим правильность решения:

Правую часть можно сократить на 4:

Таким образом, при найденном значении x=12 равенство верно.

Пример 2

Умножим обе части на :

, или

x=6

Для проверки подставим найденное значение вместо x:

Правая часть сокращается на 2:

 = 7/6

Итак, при вычисленном значении x=6 равенство верно.

Основное свойство пропорции

Если a:b=c:d, то a и d являются крайними членами этой пропорции, b и c – средними. Основное свойство заключается в следующем: произведение крайних членов равно произведению средних: ad=bc. При записи в виде равенства дробей  крайние и средние члены образуют 2 диагонали в форме креста. И основное свойство можно ради наглядности формулировать по-другому: произведения членов, составляющих правую диагональ, равно произведению членов, образующих левую диагональ («правило креста»). Чтобы убедиться, что данное свойство действительно присуще пропорции  , достаточно умножить обе ее части на bd:

Сократив обе части, избавимся от знаменателей и получим:

ad=cb

Используя основное свойство, можно легко и быстро находить неизвестный член.

Пример 3

По основному свойству:

7x=8*35

X==40

Проверим правильность решения:

Правую часть сократим на 5:

Таким образом, при полученном значении x=40 равенство верно.

Прямая и обратная зависимость

Допустим, имеются два изменяющихся параметра x и y. Причем, увеличение или уменьшение любого из них в некоторое число раз влечет за собой подобное изменение и другого в такое же число раз. В этом случае говорят о прямой зависимости, или прямой пропорциональности величин между собой: x прямо пропорционален величине y, y прямо пропорционален параметру x. Прямо пропорциональными являются такие пары как объем вещества и его масса, скорость движения и пройденное расстояние за некоторое время, количество работников и объем работы, который они способны выполнить за определенное время и т. д.

Задача 1

Человек проходит расстояние от своего дома до троллейбусной остановки (250 м) за 5 минут, до автобусной – за 7 минут. Какое расстояние от дома до остановки автобуса?

Так как увеличилось время, затраченное на дорогу, очевидно, что увеличилось и пройденное расстояние. Причем, оба этих параметра возросли в одинаковое количество раз: отношение первого расстояния ко второму равно отношению первого промежутка времени ко второму. Таким образом, расстояние и время на его прохождение прямо пропорциональны между собой. Выразим задачу равенством дробей и решим ее с помощью основного свойства:

x==350 м

Ответ: расстояние до автобусной остановки составляет 350 м

Предположим, имеются два переменных параметра x и y. Причем, увеличение любого из них в некоторое число раз приводит к уменьшению другого в то же число раз. И наоборот, уменьшение любого из них в какое-либо количество раз приводит к увеличению другого в это же количество раз. Другими словами, увеличение какого-либо параметра соответствует увеличению другого в обратное число раз. В этом случае говорят об обратной зависимости: x обратно пропорционален y, y обратно пропорционален x.

Задача 2

Плывя со скоростью 45 км/ч, катер прошел некоторый путь за 4 ч. За какое время он пройдет этот же путь при скорости 40 км/ч?

Так как скорость катера уменьшилась, времени на проплывание ему потребуется больше. Значит, скорость и время обратно пропорциональны друг другу. Таким образом, отношение первой скорости ко второй равно отношению второго промежутка времени к первому:

X = 

Ответ: при скорости 40 км/ч катер пройдет данный путь за  часа.

Задача 3

Вася выполнил требуемое количество отжиманий за 1 минуту. Ваня отжимается в  раза быстрее. За какое время Ваня отожмется требуемое количество раз?

Поскольку Ваня отжимается быстрее Васи, то времени ему потребуется меньше. Причем, ванин промежуток времени будет во столько же раз меньше, во сколько раз больше его быстрота (в  раза). Таким образом, время выполнения одинакового количества отжиманий и быстрота обратно пропорциональны между собой. Обозначим время отжиманий Вани как x, тогда

x = 1 мин :  =  =  мин

Ответ: 3/4 мин.

Несмотря на наличие в условиях обратной зависимости, в данном случае для решения нет смысла использовать равенство дробей.